<T->
          Matemtica na Medida 
          Certa 7 ano

          Marlia Centurin
          Jos Jakubovic (jakubo)          
 
          Impresso Braille em 
          7 partes na diagramao de 
          28 linhas por 34 caracteres, 
          So Paulo, 2009 11 edio
          Editora Scipione.  

          Quarta Parte

          Ministrio da Educao 
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
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          ~,http:www.ibc.gov.br~,
          -- 2011 --
<P>
          Copyright (C) Marlia 
          Centurin e Jos Jakubovic

          ISBN 978-852627271-2

          Gerente editorial:
          Maria Teresa Porto
          Responsabilidade editorial:
          Elizabeth Soares
          Edio:
          Reny Hernandes
          Assistncia editorial:
          Bruna Derossi
          Cira Maria Sanches

          Direitos desta edio cedidos  Editora Scipione S.A.
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          6 andar e andar 
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<P>
                                I
 Sumrio

Quarta Parte

Captulo 4 -- Razes, 
  propores e porcentagens
 1- Razes ::::::::::::::::: 309
 2- Escalas :::::::::::::::: 321
 3- Propores ::::::::::::: 327
 O artista  voc!: ao 
  sobre razes e 
  propores :::::::::::::::: 338 
 4- Grandezas direta e 
  inversamente 
  proporcionais ::::::::::::: 339 
 5- Regra de trs 
  simples ::::::::::::::::::: 356
 6- Regra de trs 
  composta :::::::::::::::::: 371
 Experincias com a 
  bicicleta: ao sobre regra 
  de trs ::::::::::::::::::: 386
 7- Porcentagem :::::::::::: 388
 8- Clculos com 
  porcentagem ::::::::::::::: 400

<127>
<P>
<tmat. medida c. 7>
<T+309>
Captulo 4 -- Razes, 
  propores e porcentagens 

<128>
1- Razes 

  Vamos estudar uma maneira de comparar quantidades. Logo voc ver que esse  um dos assuntos da Matemtica mais utilizados na vida diria. 
  Imagine esta situao: voc tem R$18,00 e eu tenho R$6,00. Podemos comparar essas quantias com uma diviso: 186=3. 
  Dizemos, ento, que voc tem o triplo do que eu tenho ou, ento, que a razo entre os R$18,00 que voc tem e os R$6,00 que eu tenho  igual a 3. Isso significa que, para cada R$3,00 seus, eu tenho R$1,00. 
  Agora, vamos mudar os nmeros desse exemplo. Voc tem R$70,00 e eu tenho R$175,00. Podemos comparar essas quantias assim: 
 70175=#=}age=#;e. 
  Dizemos ento que a razo entre os R$70,00 que voc tem e os R$175,00 que eu tenho  igual a #;e; ou, ento, que essa  uma razo de 2 para 5. Isso significa que para cada R$2,00 seus, eu tenho R$5,00. 
  Essa razo ainda pode ser escrita de outro modo: na forma decimal. Veja: #;e=0,4. 

  Dados dois nmeros, *a* e *b*, com b=0, a razo de *a* para *b*  o quociente da diviso ab. 

  Existem trs maneiras de indicar uma razo. Veja estes exemplos:
<R+>
  a razo de 3 para 4: 34, #:d e 0,75.
  a razo de 5 para 2: 52, #?b e 2,5.
<R->

Voc sabia?

  A palavra razo vem de ratio, que em latim significa diviso. Da vm, por exemplo, as palavras rateio (de um prmio) e racional. Nmero racional  o que se pode representar por uma diviso de inteiros. 

<129> 
Razes inversas 

  Ao escrevermos uma razo, devemos prestar ateno na ordem em que a comparao  feita. Por exemplo: Tio Patinhas tem 4,5 milhes de dlares e seu principal concorrente s tem 3 milhes de dlares. 
  A razo entre a fortuna do Tio Patinhas e a do seu rival : 
 4.500.0003.000.000=4530=
 =32. 
  No entanto, a razo entre a fortuna do rival e a do Tio 
 Patinhas  outra: 
 3.000.0004.500.000=3045=
 =23. 
  Como #;c  o inverso de #:b, dizemos que uma  a razo inversa da outra. Por exemplo: #?c  a razo inversa de #:e.
<P> 
  Uma razo  a razo inversa 
 de outra quando o produto das duas d 1. 

Aplicao das razes 

Exemplos 

<R+>
1. Mrcia decidiu: a razo entre suas horas de estudos e as de descanso ser de #;e! 
  A, ela estudou 3 horas sem parar. Quantas horas poder, ento, descansar? 
  Vamos chamar de x essas horas de descanso. Sabemos que a razo entre o tempo de estudo e o de descanso  de #;e. Isso significa que: tempo de estudotempo de descanso=#;e. Assim: 3x=25. 
  Agora, temos uma equao na incgnita x. Para resolv-la, vamos usar a multiplicao em cruz: 3x=25; 2x=3'5. Portanto, 2x=15. Ento, x=7,5. 
<P>
  Ento, Mrcia poder descansar 7 horas e meia. 
<130>
 2. Qual destas embalagens , relativamente, a mais barata? 

_`[{figura: duas embalagens de "choco": uma de 200 g que custa R$3,57 e a outra de 500 g que custa R$7,30_`]

  Uma maneira de saber isso  comparar os preos por meio de uma razo; depois, comparamos as massas, tambm por meio de uma razo. 
  Razo entre os preos da embalagem maior e da menor: 7,303,57^=2,04 (^= significa aproximado).
  Razo entre as massas contidas na embalagem maior e na menor: 500200=2,5. 
  O que se pode concluir? 
  A embalagem maior custa cerca de 2 vezes o preo da menor, mas tem 2,5 vezes o contedo da menor. 
  Por isso, a embalagem maior  relativamente a mais barata.
 
Atividades 

<R+>
1. Escreva, na forma de uma frao irredutvel, a razo entre: 
 a) 28 e 35 
 b) 2,5 e 7,5

2. Escreva, na forma decimal, a razo entre: 
 a) 1 e 2 
 b) 3 e 2

3. A razo entre o que eu tenho e o que Mrio tem  de #;c. Eu tenho R$12,00. Quanto Mrio tem?
 4. Existem vrios tipos de transporte: rodovirio (caminhes e outros), ferrovirio (trem), areo (avies) etc. No Brasil, o tipo mais usado  o rodovirio. Cerca de 60% de toda a carga que circula  transportada por rodovias. O segundo tipo mais usado  o ferrovirio. De cada 5 toneladas transportadas, 1  transportada por trem. Qual  o percentual correspondente  razo 1 em 5? Pense como o menino e voc descobrir. 

_`[{um menino pensa: "1 em cada 5, 2 em cada 10, 5 em cada 25... Quantos em cada 100?"_`] 

<131> 
5. De cada R$5,00 que ganho de mesada, gasto R$4,00 no mesmo dia. Ontem recebi a mesada e, seguindo essa regra, gastei R$10,00. Descubra quanto recebi.
 6. Na poca em que o Brasil tinha 150 milhes de habitantes, a razo entre sua populao e a da China era de #:bj. Qual era, ento, a populao chinesa?
 
7. D a razo inversa de: 
 a) #!g 
 b) #,,i
<P>
8. Eu tenho R$15,00. Calcule quanto minha amiga tem, sabendo que #;c  a razo entre: 
 a) o que eu tenho e o que ela tem; 
 b) o que ela tem e o que eu tenho.
 
9. Todos dizem que o sabo em p Claro e o sabo em p Brancoso so iguais em qualidade, mas diferem no preo e na quantidade. 

_`[{figura: duas caixas de sabo em p "Claro", de 500 g que custa R$1,50 e "Brancoso", de 250 g que custa R$1,00_`]

a) Qual  a razo entre os preos do sabo Claro e do 
  Brancoso? 
 b) Qual  a razo entre as massas do sabo Claro e do 
  Brancoso? 
 c) Relativamente, qual deles  o mais barato?
<P>
Pensando em casa 

10. Eu e minha irm somos loucos por pastel. Outro dia exageramos: para cada 2 pastis que ela comeu, eu comi 3. Minha irm, sozinha, comeu 16 pastis! Quantos pastis ns dois comemos juntos?
 
11. _`[{use a calculadora_`] As estimativas da populao mundial variam um pouco de uma fonte para outra. Uma notcia da Folha Online de 13/3/2007, divulgada na internet, indicava que a populao em meados desse ano seria 6,7 bilhes. Nesse mesmo ano, considerava-se que a China tinha 1,34 bilho de habitantes. 
 a) Escreva, usando somente algarismos, a populao da China em 2007. 
 b) Qual  a razo entre o nmero de habitantes da China e o total de habitantes do mundo em 2007? (Expresse essa razo na forma *a* para *b*, sendo *a* e *b* nmeros inteiros. Para isso, use calculadora e divida um dos nmeros envolvidos pelo outro.) 
 c)  verdade que, em 2007, de cada 10 habitantes do mundo, 2 eram chineses? 
 d) Se um pas tinha 67 milhes de habitantes em 2007, qual era a razo entre sua populao e a populao do mundo? 

<132>
12. Em nosso pas, muita gente ganha pouco. Para voc ter uma ideia: 2 em cada 5 pessoas que trabalham ganham salrio mnimo. No Brasil, h cerca de 25.000.000 de trabalhadores. Quantos ganham salrio mnimo?

13. De vez em quando, duas irms tm aumentos de mesada, mas a razo entre o que recebe a mais velha e a mais nova fica sempre igual a #!e.
<P>
 a) Qual era a mesada da irm mais nova quando a mais velha recebia R$15,00? 
 b) Qual era a mesada da mais velha quando a mais nova recebia R$15,00?

14. Dessa vez, consegui um bom acordo com meus pais: para cada hora de TV a que assisto, devo estudar 10 minutos. Em uma semana, assisti 10#,b horas de TV. Quanto tempo preciso estudar?
 15. Na minha classe, a razo entre rapazes e meninas  de #:d. Na classe ao lado, essa razo  de #?f. Se o nmero de alunas for o mesmo nas duas classes, qual delas ter mais rapazes?

16. Uma das maneiras de medir a sade de uma populao  a taxa de mortalidade infantil.  uma razo: para cada 1.000 crianas que nascem, conta-se quantas morrem antes de completar 1 ano. No Brasil, essa taxa  mais alta no Nordeste, onde h muitas carncias. Mesmo assim, a situao est melhorando, porque a taxa era 76 por 1.000 em 1992 e passou a ser 38 por 1.000, em 2002. 
 a) A taxa de mortalidade diminuiu ou aumentou de 1992 para 2002? 
 b)  melhor que essa taxa seja pequena ou grande? 
 c) Pode-se dizer que a mortalidade infantil se reduziu  metade de 1992 para 2002? 

_`[{a professora diz: "Conhea trs razes muito usadas no dia a dia."_`]

 Velocidade mdia  a razo entre a distncia percorrida e o tempo gasto no percurso. 
  Densidade demogrfica de uma regio  a razo entre o nmero de habitantes e a rea dessa regio. 
<P>
  Porcentagem  uma razo em que o segundo nmero  100. Assim, 2%=#;ajj. 

Desafios e surpresas

1. A razo entre os nmeros *a* e *b*  1,6. Tambm na forma decimal, escreva a razo entre *b* e *a*. 
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<133> 
2- Escalas 

  Veja a planta _`[no adaptada_`] de um escritrio: 
  Para retratar o escritrio sem distores, a planta  feita cuidadosamente. Nesse caso, todos os comprimentos reais foram divididos por 400. Depois, o desenho foi feito com as medidas obtidas nessas divises. 
  A informao desse fato consta da planta, na escala. No caso, a escala  1400 (um para quatrocentos). Isso significa que cada 1 cm do desenho corresponde a 400 cm, ou 4 metros, do escritrio real. 
  Perceba ento que a escala  uma razo entre o que se passa no desenho e o que se tem na realidade. 

  Na escala 1n, tem-se: comprimento no desenhocomprimento real correspondente=1n. 

Exemplos 

<R+>
1. Nessa planta do escritrio, medindo uma das paredes, obtivemos 1,5 cm. 
  A escala do desenho  1400. Vamos calcular a medida real x dessa parede: comprimento no desenhocomprimento real=1400. Ento: 1,5x=1400. Portanto: x=600. Ento, a parede tem 600 cm, ou seja, 6 m.
<134>
 2. Na planta de uma casa, um muro de 2 m est representado por 
<P>
  um segmento de 4 cm. Qual  a escala dessa planta? 
  Para saber a escala do desenho, primeiro transformamos 2 m em centmetros. Assim, os dois comprimentos estaro na mesma unidade. 2 m=200 cm. 
  Vamos indicar a escala por 1n. Ento: comprimento no desenhocomprimento real=1n. Ento: 4200=1n. Portanto, n=50. 
  A escala  150.

Atividades 

17. A planta de uma casa est na escala 150. Um comprimento de 8 cm na planta corresponde a quantos metros na realidade?
 18. Um terreno tem 20 m de comprimento. Numa planta, ele tem 4 cm de comprimento. Qual  a escala da planta?
<P>
_`[{para as atividades 19 a 22, pea orientao ao professor_`]

 19. Este desenho _`[no adaptado_`] est na escala 120. Trata-se de um gato ou de uma ona? Qual  o comprimento real desse animal?
 20. A minha sala tem 6 m de comprimento. Desenhei uma planta na escala 175. Nessa planta, a sala tem quantos centmetros de comprimento?
 21. Mea a altura do menino na foto _`[no adaptada_`]. Se a foto retrata o menino na escala 120, qual sua altura aproximada? 
<135>
 22. _`[{use a calculadora_`] A distncia real entre os pontos L e O  de aproximadamente 4.300 quilmetros. No Brasil, essa  a maior distncia existente no sentido leste-oeste. Com uma rgua, mea essa distncia no mapa _`[no adapta-
<P>
  do_`]. Assim, voc poder calcular a escala do mapa. Qual  essa escala?

Pensando em casa 

_`[{para as atividades 23 a 28, pea orientao ao professor_`]

23. Uma locomotiva de 15 m de comprimento foi desenhada com 50 cm. Qual  a escala do desenho?
 24. Uma locomotiva de 15 m de comprimento foi desenhada na escala 1100. No desenho, quantos centmetros ela ter de comprimento?
 25. Um vago est desenhado na escala 1100. No desenho, ele tem 9 cm de comprimento. Qual  o comprimento real do vago?
 26. Tenho duas plantas da mesma casa: uma na escala 1200 e outra na escala 1100. Em qual das duas o desenho  maior?

27. A frente de uma casa tem 10 m de comprimento e 3 m de altura. Vou desenh-la em uma folha do mesmo tamanho que a folha deste livro. 
 a) Se eu usar a escala 120, o desenho caber na folha? 
 b) E se eu usar a escala 110?

28. Este mapa _`[no adaptado_`] est na escala 150.000.000. Voc encontrar no mapa um pequeno segmento de 1 mm. Ele representa uma fila nica e ininterrupta de carros, cada um com 5 m de comprimento. 
 a) Qual  o comprimento real da fila? 
 b) Quantos carros h na fila? 
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<136> 
<P>
3- Propores 

  Vi este desenho numa revista: 

_`[{desenho de um cavalo_`]

  Tentando copi-lo em tamanho um pouco menor, fiz este desenho: 

<R+>
_`[{desenho do contorno do cavalo anterior_`]
<R->

  O cavalo, porm, no ficou proporcional ao da revista. Ficou muito comprido! Parei e fiz estas medidas. 
  Na revista, essas medidas tinham 8 e 6 cm. No meu desenho, 6 e 3,6 cm. 
<137>
  Para comparar os desenhos, usei as razes. 
  Razo entre os comprimentos, no meu desenho e na revista: 
  68=0,75
  3,66=0,6
  O que se conclui?
<P>
  As duas razes so diferentes. Isso causa a desproporo. 
  Mantendo os 6 cm de comprimento, calculei ento quantos centmetros de altura deveria ter o cavalo no meu desenho: x6=0,75, ento: x=4,5.
  A, fiz o desenho enquadrando-o nas medidas que eu queria: 6 cm e 4,5 cm.
  Dessa vez, saiu proporcional! 
  Observe: 68=4,56.
  Quando os desenhos so proporcionais, as razes so iguais. Por isso, na Matemtica, uma igualdade como 68=4,56  chamada de proporo. 

  Proporo  uma igualdade entre duas razes. 
  L-se a proporo ab=cd deste modo: "*a* est para *b* assim como *c* est para *d*", ou ento, *a* e *b* so proporcionais a *c* e *d*. 

<138> 
<P>
  Veja estes exemplos de pro-
 poro: 
<R+>
  12=50100 (1 est para 2 assim como 50 est para 100) 
  175=6820 (17 est para 5 assim como 68 est para 20) 
<R->

Propriedade fundamental das 
  propores 

  Considere a proporo: ab=cd.
  Nela, podemos usar a multiplicao em cruz: ab=cd. Assim: ad=bc. 
  Como essa propriedade  uma caracterstica de qualquer proporo, podemos utiliz-la para verificar se certos nmeros formam ou no uma proporo. 

Exemplos 

<R+>
 6 e 10 so proporcionais 
  a 15 e 25, isto , 610=
  =1525, porque 6'25=10'15. 
  6'25=150
  10'15=150
  6 e 8 so proporcionais 
  a 4,5 e 6, isto , 68=
  =4,56, porque 6'6=8'4,5. 
  6'6=36
  8'4,5=36
<R->

Aplicao das propores 

  Usando propores, podemos resolver vrios problemas prticos. Veja este exemplo. 
  Uma indstria prepara combustvel, utilizando lcool e gasolina em quantidades proporcionais a 3 e 7. Com 3.600 litros de lcool, quantos litros de gasolina devem ser misturados? 
  Vamos indicar por x essa quantidade de litros de gasolina. Ento: 3.600 e x devem ser proporcionais a 3 e 7. Portanto: 3.600x=37. 

lcool: 3.600
 gasolina: x
<P>
  Resolvendo essa equao, obteremos o valor de x: 3x=7'3.600, ento: x=?7'3.600*3=
 =?7'1.200*1. Portanto, x=8.400. 
  Devem ser misturados 8.400 L de gasolina com 3.600 L de lcool. 

Atividades 

<R+>
29. Algumas destas propores esto corretas, mas outras no! Quais so as corretas? 
 a) 68=912 
 b) 410=1435 
 c) 56=810
 d) 3,57=48
 
30. Que nmero deve ser colocado no lugar de ...? 
 a) 3,55=...10 
 b) 46=6... 
 c) 0,20,3=...3
 d) 25=...4
<P>
31. O comprimento e a largura de uma sala so proporcionais a 4 e 3. O comprimento  10 m. Qual  a largura?
 32. A base e a altura de um desses retngulos so proporcionais  base e  altura do outro. 
  Quais so esses dois retngulos? Se for preciso, use a rgua. 

_`[{figuras: trs retngulos_`]

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 33. Para fazer um refresco de caju, misturamos suco concentrado e gua, na proporo de 2 para 5. Ento, com quantos copos de gua devem ser misturados 3 copos de suco concentrado?
 34. Leio mais rpido do que voc. O nmero de pginas que leio est para o que voc l no mesmo tempo assim como 5 est 
<P>
  para 2. Enquanto eu leio 70 pginas, quantas voc l?
 35. A TV Lobo deseja saber quantas pessoas assistem a seus programas numa cidade de 85.000 habitantes. Ela entrevistou 170 habitantes, e descobriu que 55 deles assistem a seus pro-
  gramas. Supondo que os resultados da pesquisa sejam proporcionais aos que seriam obtidos na cidade toda, calcule quantas pessoas assistem aos programas da TV Lobo nessa cidade.

36. Responda no caderno: 
 a) 2 e 8 so proporcionais a 10 e 40? 
 b) 1,5 e 13 so proporcionais a 9 e 78? 
 c) 17,5 est para 6 assim como 7 est para 2? 
 d) 40 est para 32 assim como 10 est para 8?
<P>
37. Podemos dizer que 7 e 4 esto na mesma razo que 5 e 3? Por qu?
 38. Podemos dizer que 4 e 10 esto na mesma razo que 10 e 25? Por qu? 

Pensando em casa 

39. Geralmente, num adulto, a altura da cabea e sua altura total esto na proporo de 1 para 7, ou at mesmo de 1 para 8. Isso acontece nesta figura?

_`[{figura de um homem_`]

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

40. Responda no caderno: 
 a) 5 e 10 so proporcionais a 7 e 16? 
 b) 23 e 20 esto na mesma razo que 92 e 80? 
 c) 33 est para 11 assim como 3 est para 1?
<P>
41. Os nmeros 4 e 10 so proporcionais a 10 e x. Calcule o valor de x.
 42. Os nmeros x e x+3 so proporcionais a 6 e 7. Calcule o valor de x.
 43. Meu primo e eu abrimos uma firma. Eu investi R$11.250,00 e ele investiu R$15.000,00. Ele fez clculos e disse que meu investimento e o dele eram proporcionais a 2 e 3. Eu disse que no, que os investimentos eram proporcionais a 3 e 4. Quem est certo?
 44. Na bandeira brasileira, o comprimento e a largura so proporcionais a 10 e 7. 
   Pretendo fazer duas bandeiras: uma delas com 45 cm de comprimento e a outra com 120 cm de comprimento. Que largura devem ter essas bandeiras?

45. Na tabela esto os resultados de uma pesquisa de opinio feita em minha escola: 

_`[{tabela adaptada, formada por trs colunas:
  1) Ano;
  2) Entrevistados;
  3) Gostam de Matemtica_`]

<F->
  !:::::::::::::::
  l 1 _ 2 _ 3 _ 
  r:::::w:::::w:::::w
  l 6 _ 8  _ 8  _
  r:::::w:::::w:::::w
  l 7 _ 8  _ 6  _
  r:::::w:::::w:::::w
  l 8 _ 11 _ 7  _
  r:::::w:::::w:::::w
  l 9 _ 10 _ 4  _
  h:::::j:::::j:::::j
<F+>

a) Qual  a razo entre os que gostam de Matemtica e o total de entrevistados? 
 b) A minha escola tem 740 alunos. Supondo que a razo encontrada na pesquisa se mantenha igual para o total dos alunos, calcule o nmero de alunos da escola que gostam de Mate-
  mtica. 
<141> 
<P>
Desafios e surpresas

2. Malba Tahan  o pseudnimo de um professor de Matemtica brasileiro, autor de livros interessantes, cheios de problemas surpreendentes. A ideia deste problema vem de um de seus livros. 
  No deserto, um matemtico e seu amigo socorrem um viajante que morria de fome. O matemtico tem 5 pes e o amigo tem 3. Eles juntam os pes, dividem em trs partes iguais e cada um come os #"c at chegarem a uma cidade. 
  O viajante era, na verdade, um rico prncipe. Para recompensar seus salvadores, deu 5 barras de ouro ao matemtico e 3 barras de ouro ao amigo do matemtico, dizendo: 
  -- Essas recompensas so proporcionais ao que vocs me deram. 
  -- Ento, o senhor se enganou, disse o matemtico. Essas recompensas so proporcionais ao que tnhamos, e no ao que lhe demos. 
  O matemtico tem razo. O amigo dele tinha 3 pes e comeu #"c, e isso  quase 3. Ou seja, ele no deu quase nada ao prncipe! Se as recompensas fossem proporcionais ao que o matemtico e o amigo deram ao prncipe, quanto cada um deles receberia? 
<R->

<142>
Ao sobre razes e propores
 
O artista  voc! 

  Para esta atividade, vamos precisar de desenhos ou fotos recortadas de revistas. 
  Cada dupla quadricula seu desenho ou foto. Depois, numa folha de papel maior, talvez uma cartolina, reproduz o mesmo quadriculado, aumentando o tamanho dos lados dos quadradinhos. Por exemplo, para ampliar 3 vezes o original, o lado dos quadradinhos deve ser 3 vezes maior. 
  Depois,  s reproduzir o original no quadriculado aumentado, com os colegas se ajudando mutuamente. 

               ::::::::::::::::::::::::
 
<143>
4- Grandezas direta e 
  inversamente proporcionais 

Grandezas diretamente 
  proporcionais 

  Abre-se uma torneira e ela comea a encher o reservatrio mostrado nas figuras. De tempos em tempos, mede-se a altura da gua. 

<R+>
_`[{trs figuras descritas a seguir_`]

1. Reservatrio com 50 cm de gua.
 Legenda: aps 15 minutos.
<P>
 2. Reservatrio com 100 cm de gua.
 Legenda: aps 30 minutos.
 3. Reservatrio com 150 cm de gua.
 Legenda: aps 45 minutos.
<R->

  Vamos colocar esses dados numa tabela: 

<F->
!:::::::::::::::::::::::
l tempo em _ altura em   _
l minutos  _ centmetros _
r::::::::::w:::::::::::::w
l 15      _ 50         _
r::::::::::w:::::::::::::w
l 30      _ 100        _
r::::::::::w:::::::::::::w
l 45      _ 150        _
h::::::::::j:::::::::::::j
<F+>
 
  Observe: se o intervalo de tempo duplica, a altura tambm duplica; se o intervalo de tempo triplica, a altura tambm triplica. 
  Usando as razes, podemos escrever essas frases de outro modo: 
<R+>
 1 Quando o intervalo de tempo passa de 15 para 30 min, dizemos que o tempo varia na razo 1530. Enquanto isso, a altura varia de 50 para 100 cm, ou seja, a altura varia na razo 50100. Veja que essas razes so iguais: 1530=50100.
  1530=12; 50100=12.
 2 Quando o intervalo de tempo varia de 15 para 45 min, a altura varia de 50 para 150 cm. Nesse caso, o tempo varia na razo 1545 e a altura, na razo 50150. 
<R->
<144>
  Veja que essas razes so iguais: 1545=50150.
 1545=13; 50150=13.
  Na situao que estamos analisando, o tempo que a torneira fica aberta e a altura que a gua atinge variam sempre na mesma razo. Dizemos ento que a altura da gua  diretamente proporcional ao tempo. 
  A altura da gua no reservatrio pode ser medida: dizemos que ela  uma grandeza. O tempo, a temperatura, a distncia e o volume so outros exemplos de grandezas. 

  H situaes em que duas grandezas variam sempre na mesma razo. Nesse caso, as grandezas so diretamente proporcionais. 

  Por exemplo, quando colocamos gasolina no automvel, o preo que pagamos  diretamente proporcional ao volume de gasolina colocado: duplicando o volume, duplica-se o preo; triplicando o volume, triplica-se o preo etc. 

Grandezas inversamente 
  proporcionais 

  Dessa vez, o prmio da 
 loteria esportiva ser de R$1.200.000,00. Ele ser dividido pelo nmero de ganhadores. 
<R+>
  2 ganhadores: cada um recebe R$600.000,00;  
<P>
  3 ganhadores: cada um recebe R$400.000,00; 
  4 ganhadores: cada um recebe R$300.000,00.
<R->

<F->
  !::::::::::::::::::::::::::
  l nmero de      _ rateio   _
  l ganhadores     _ R$      _
  r::::::::::::::::w::::::::::w
  l 2             _ 600.000 _
  r::::::::::::::::w::::::::::w
  l 3             _ 400.000 _
  r::::::::::::::::w::::::::::w
  l 4             _ 300.000 _
  h::::::::::::::::j::::::::::j
<F+>

<145>
  Observe: se o nmero de ganhadores duplica, o valor do rateio no duplica; ao contrrio, cai para a metade. 
  Mais uma vez, vamos usar as razes para analisar a situao: 
<R+>
 1) Quando o nmero de ganhadores passa de 2 para 4, ele varia na razo 24. Enquanto isso, o valor do rateio passa de 600.000 para 300.000, 
  ou seja, varia na razo 600.000300.000. Essas duas razes no so iguais: so razes inversas. Observe: 24 e 600.000300.000 so razes inversas. 24=12; 600.000300.000=2.
 2) Quando o nmero de ganhadores aumenta de 3 para 4, ele varia na razo 34. Enquanto isso, o valor do rateio passa de 400.000 para 300.000, ou seja, varia na razo de 400.000300.000. As duas so razes inversas: 34 e 400.000300.000.
  400.000300.000=43.
<R->

  Quando o nmero de ganhadores aumenta, o valor do rateio diminui. Sempre que o nmero de ganhadores varia numa certa razo, o valor do rateio varia na razo inversa. Dizemos, ento, que o valor do rateio  inversamente proporcional ao nmero de ganhadores. 
<P>
  H situaes em que duas grandezas variam sempre uma na razo inversa da outra. 
  Nesse caso, as grandezas so inversamente proporcionais. 

  O tempo que levamos para fazer uma certa viagem, por exemplo,  inversamente proporcional  velocidade: duplicando a velocidade, o tempo de viagem no duplica, e sim cai para a metade; triplicando a velocidade, o tempo  reduzido para um tero etc. 

<146>
Atividades 

<R+>
46. Esta tabela relaciona o consumo de gasolina de um certo automvel com a distncia que ele percorre:
<P>
<F->
  !:::::::::::::::::::::::::::
  l distncia      _ gasolina: _
  l percorrida: km _ litros    _
  r::::::::::::::::w:::::::::::w
  l 22            _ 2        _
  r::::::::::::::::w:::::::::::w
  l 33            _ 3        _
  r::::::::::::::::w:::::::::::w
  l 44            _ 4        _
  h::::::::::::::::j:::::::::::j
<F+>

a) Quando a distncia passa de 22 para 44 km, ela varia em que razo? Nesse caso, o consumo de gasolina varia em que razo? Essas duas razes so iguais? 
 b) Quando a distncia passa de 22 para 33 km, ela varia em que razo? Nesse caso, o consumo varia em que razo? Essas duas razes so iguais? 
 c) Nesse caso, o consumo de combustvel  direta ou inversamente proporcional  distncia percorrida?
<P>
47. O tempo necessrio para encher um tanque de gua  direta ou inversamente proporcional  vazo da torneira?

48. Esta tabela relaciona o nmero de pintores com o tempo necessrio para eles pintarem um edifcio: 

<F->
  !:::::::::::::::::::
  l nmero de _ tempo: _
  l pintores  _ dias   _
  r:::::::::::w::::::::w
  l 10       _ 9     _
  r:::::::::::w::::::::w
  l 20       _ 4,5   _
  r:::::::::::w::::::::w
  l 30       _ 3     _
  h:::::::::::j::::::::j
<F+>

a) Quando o nmero de pintores passa de 10 para 20, o tempo e a quantidade de pintores variam na mesma razo ou em razes inversas? 
<P>
 b) Quando o nmero de pintores passa de 10 para 30, o tempo e a quantidade de pintores variam na mesma razo ou variam em razes inversas? 
 c) O nmero de pintores  direta ou inversamente proporcional ao tempo?

49. As grandezas A e B relacionam-se do modo indicado na tabela: 

<F->
  !::::::::::::::::::::::::::
  l grandeza A _ grandeza B _
  r:::::::::::::w:::::::::::::w
  l 12         _ 300        _
  r:::::::::::::w:::::::::::::w
  l 36         _ 100        _
  r:::::::::::::w:::::::::::::w
  l 48         _ 75         _
  h:::::::::::::j:::::::::::::j
<F+>

  As grandezas A e B so direta ou inversamente proporcionais? Justifique sua resposta. 

<147>
<P>
50. Neste exerccio, suponha que todas as pessoas tenham apenas notas de R$10,00.
 a) Alice tem o dobro de notas de Bruna. Ter tambm o dobro do dinheiro? 
 b) Bruna tem o triplo de notas de Carla. Ter tambm o triplo do dinheiro?
 c) Nessa situao, a quantia que cada pessoa tem  direta ou inversamente proporcional ao nmero de notas?

51. Vamos dividir um bolo inteiro entre as pessoas presentes. Todas recebero quantias iguais.
 a) Havendo 5 pessoas, que frao do bolo cada uma receber? 
 b) Havendo 15 pessoas, que frao do bolo cada uma receber?
 c) Nessa situao, o nmero de pessoas e a quantidade de bolo que cada uma recebe so grandezas direta ou inversamente proporcionais?

52. Leia a notcia de jornal e examine a tabela. 
<R->

Percepo dos motoristas em 
  acidentes

Considerando um tempo mdio de 
  um segundo para a reao 

  Imagine um motorista atento (sem ter bebido, sem sono nem falando ao celular) a uma velocidade de 80 km/h. Quando notar a presena de um pedestre ou obstculo, ainda andar 22 metros at ter uma primeira reao de colocar seu p no freio ou de desviar seu veculo. 

<R+>
*Folha de S. Paulo*, So 
  Paulo, 16 nov. 2003, p. C-4. 
<P>
  Veja a tabela: 

_`[{tabela adaptada, formada por duas colunas:
  1 Velocidade do veculo;
  2 Distncia percorrida at a reao_`]

<F->
  !::::::::::::::::::
  l 1       _ 2   _
  r:::::::::::w:::::::w
  l 80 km/h _ 22 m _ 
  r:::::::::::w:::::::w
  l 40 km/h _ 11 m _
  h:::::::::::j:::::::j
<F+>

a) Verifique se a velocidade do carro e a distncia percorrida at acontecer uma reao so grandezas direta ou inversamente proporcionais. 
 b) Calcule qual seria a distncia percorrida at haver uma reao do motorista se o carro estivesse a 120 km/h.
<P>
Pensando em casa 

53. Veja as instrues que aparecem numa caixa grande de chocolate em p: 

_`[{rtulo adaptado, da caixa de chocolate em p. Contedo a seguir_`]

  Modo de preparo
  Adicione o chocolate em p ao leite frio ou quente, adoce a gosto e mexa.

  Dosagem recomendada
  Chocolate em p -- leite
  30 g -- 200 mL (1 copo)
  150 g -- 1 L
  1.500 g -- 10 L
  3.000 g -- 20 L 

  Nessa tabela, a quantidade de chocolate e o volume de leite so grandezas relacionadas de que maneira? 
<148>
 54. Uma herana ser igualmente distribuda entre alguns irmos. A parte de cada irmo e o nmero de irmos so grandezas relacionadas de que maneira?
 55. Mrcia  uma digitadora principiante: digita 10 pala-
  vras por minuto. Para digitar uma certa pgina, levaria 120 minutos. Alessandra  mais ex-
  periente: digita 30 palavras por minuto. Para digitar a mesma pgina, levaria 40 minutos. Com essas informaes, diga de que maneira esto relacionados o nmero de palavras digitadas por minuto e o tempo gasto para digitar uma pgina.

56. Um bilogo, acompanhando ao microscpio o crescimento de uma populao de bactrias, fez a tabela a seguir: 

_`[{tabela adaptada, formada por duas colunas:
  1 Tempo;
  2 Nmero de bactrias_`]

<F->
         !::::::::::
         l 1 _ 2 _
         r:::::w:::::w
   I    l 1  _ 2  _
         r:::::w:::::w
   II  l 2  _ 4  _
         r:::::w:::::w
   III l 3  _ 8  _
         h:::::j:::::j
<F+>

a) Da situao I para a situao II, o tempo e o nmero de bactrias variam na mesma razo? Variam em razes inversas? 
 b) Da situao I para a III, o tempo e o nmero de bactrias variam na mesma razo? Variam em razes inversas? 
 c) Nesse caso, o nmero de bactrias  diretamente proporcional ao tempo de observao?  inversamente proporcional a ele?

57. Considere trs quadrados de lados 1,0 cm, 1,5 cm e 2,0 cm, respectivamente. 
<P>
 a) Faa uma tabela apresentando as medidas dos lados desses quadrados e os permetros correspondentes. 
 b) Faa uma tabela apresentando as medidas dos lados desses quadrados e as reas correspondentes. 
 c) O permetro de um quadrado  diretamente proporcional  medida do seu lado? Justifique sua resposta. 
 d) Mostre que a rea de um qua-
  drado no  diretamente proporcional  medida do seu lado. 
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

               ::::::::::::::::::::::::

<149>
<P>
5- Regra de trs simples 

Usando grandezas diretamente 
  proporcionais 

  Imaginando uma mquina que produz parafusos, podemos supor que, duplicando-se o tempo de funcionamento da mquina, duplicar a produo de parafusos; triplicando-se o tempo, triplicar a produo etc. Portanto, a produo da mquina  diretamente proporcional ao tempo do seu funcionamento. 
  Por exemplo: a mquina pode ter as produes indicadas na tabela. Com esses dados, podemos escrever uma proporo. Veja: 

<F->
!:::::::::::::::::::
l tempo: _ produo: _
l horas  _ peas     _
r::::::::w:::::::::::w
l 3     _ 60       _
r::::::::w:::::::::::w
l 5     _ 100      _
h::::::::j:::::::::::j
<F+>

  Assim: 35=60100.

Usando grandezas inversamente
  proporcionais 

  Imagine agora que a fbrica deva produzir uma certa quantidade de parafusos. Podemos supor que, duplicando o nmero de mquinas, a fbrica produzir a quantidade desejada na metade do tempo; triplicando o nmero de mquinas, isso ser feito em um tero do tempo. Portanto, o tempo de produo  inversamente proporcional ao nmero de mquinas. Pode-se ter, por exemplo, esta tabela: 

<F->
!:::::::::::::::::::
l nmero de _ tempo: _
l mquinas  _ horas  _
r:::::::::::w::::::::w
l 2        _ 180   _
r:::::::::::w::::::::w
l 4        _ 90    _
h:::::::::::j::::::::j
<F+>

  Nesse caso, no podemos escrever imediatamente uma proporo: 24 no  igual a 18090. 
  Isso porque o tempo de produo e o nmero de mquinas variam em razes inversas. 
  Ento, para escrever uma proporo, precisamos inverter a posio dos nmeros da 2 coluna: 

<F->
!:::::::::::::::::::
l nmero de _ tempo: _
l mquinas  _ horas  _
r:::::::::::w::::::::w
l 2        _ 180   _ 
r:::::::::::w::::::::w
l 4        _ 90    _ 
h:::::::::::j::::::::j
<F+>

  Assim: 24=90180.

<150>
Problemas de regra de trs

Exemplos 

<R+>
1. Em 5 horas, uma mquina produz 120 peas. Quantas peas ela produzir em 8 horas? 
  Vamos organizar os dados do problema numa tabela: 

<F->
  !:::::::::::::::::::
  l tempo: _ produo: _
  l horas  _ peas     _
  r::::::::w:::::::::::w
  l 5     _ 120      _ 
  r::::::::w:::::::::::w
  l 8     _ x         _ 
  h::::::::j:::::::::::j
<F+>

  Nesse caso, se duplicarmos o tempo, a produo duplicar; se triplicarmos o tempo, a produo triplicar. As duas grandezas so diretamente proporcionais. 
  Por isso, com os dados da tabela, podemos escrever esta proporo: 120x=58.
  Agora,  s resolver esta equao: 
  5x=120'8 
  x=?120'8*5 
  x=?24'8*1
  x=192 
<P>
  Em 8 horas, a mquina produzir 192 peas. 
<151>
 2. Com velocidade mdia de 80 km/h, fiz uma viagem em 14 horas. Se a velocidade fosse de 70 km/h, em quanto tempo eu faria essa viagem? 
  Vamos organizar os dados numa tabela: 

<F->
  !:::::::::::::::::::::
  l velocidade: _ tempo: _
  l km/h       _ horas  _
  r:::::::::::::w::::::::w
  l 80         _ 14    _
  r:::::::::::::w::::::::w
  l 70         _ x      _
  h:::::::::::::j::::::::j
<F+>

  Nesse caso, se duplicarmos a velocidade, o tempo cair para a metade. Se triplicarmos a velocidade, o tempo cair para a tera parte. As duas grandezas so inversamente proporcionais. 
  Por isso, para escrever a proporo, precisamos inverter a posio dos nmeros da 2 coluna: 8070=x14. 8070=x14 de onde: 70x=80'14. Assim, x=?8'14*7=?8'2*1 ou, ainda, x=16. 
  A viagem seria feita em 
  16 horas. 
<R->

Voc sabia?

  Nos problemas com grandezas proporcionais, organizamos os dados numa tabela. 
  Nessa tabela, geralmente conhecemos *trs* valores, e procuramos descobrir o quarto. Por isso, esse tipo de problema  conhecido como problema de *regra de trs*. 

<152>
Atividades 

<R+>
58. Romeu, andando de carro a certa velocidade durante determinado tempo, percorreu 160 km. Julieta, em outro carro, andou o mesmo tempo que Romeu, mas sua velocidade foi o dobro da dele. Calcule mentalmente: quantos quilmetros Julieta percorreu?
 59. Almir, lendo certo nmero de pginas por dia, leu um livro em 15 dias. 
  Rita leu o mesmo livro, lendo por dia o triplo do que Almir leu. 
  Calcule mentalmente: em quantos dias Rita leu o livro?
 60. Com certa quantia, um comerciante comprou 72 bolas de futebol. Tempos depois, ele gastou a mesma quantia, mas a bola havia dobrado de preo. 
  Calcule mentalmente: dessa vez, quantas bolas o comerciante comprou?

61. Responda no caderno: 
 a) Usando ladrilhos de mesmo tamanho, vou ladrilhar uma parede. O nmero de ladrilhos necessrios  direta ou inversamente proporcional  rea da parede? 
 b) Vou percorrer uma distncia dando passos de mesmo tamanho. O nmero de passos que darei  
<P>
  direta ou inversamente proporcional ao comprimento dos meus passos? 
 c) Alguns pedreiros vo construir um muro. O tempo da construo  direta ou inversamente proporcional ao nmero de pe-
  dreiros?

62. Se 25 tratores Fracs tm o peso de 35 caminhes Tercedes, 30 tratores Fracs tm o peso de quantos caminhes Tercedes?
 63. Meu relgio est maluco: em 3 minutos reais ele marca 5 minutos. Eu disse a minha me que, pelo meu relgio, estudei 45 minutos. Na verdade, quanto tempo estudei? 
<153>
 64. A carga mxima de um elevador  esta: 7 adultos de 80 kg cada um. Essa carga mxima  de quantos adolescentes de 56 kg cada?  
 65. Em uma fbrica de automveis, 8 robs idnticos fazem certo servio em 24 horas. Em 
<P>
  quanto tempo 6 desses robs fariam o mesmo servio? 

66. Responda no caderno: 
 a) Tirei 6,0 em uma prova que valia 8 pontos. Qual seria minha nota se a prova valesse 10? 
 b) Uma prova, de nota mxima 10, tinha 15 questes de igual valor. Eu acertei s 9 questes. Que nota tirei?  

67. Fiz meus clculos: durante 25 dias de frias, eu precisaria ler 12 pginas por dia para terminar a leitura pedida pela escola. Infelizmente, eu nem peguei no livro. Agora, s restam 15 dias de frias. Quantas pginas terei de ler por dia para completar a leitura no ltimo dia de frias?
 68. Para um carregamento de areia, foram necessrias 30 viagens de caminhes com capacidade de 5 m3 cada um. Se o transporte fosse feito em caminhes de 6 m3 de capacidade, quantas viagens seriam necessrias? 
 69. Uma mquina impressora possui duas velocidades. Ela pode imprimir 5.000 pginas por hora ou 3.000 pginas por hora, sendo que na velocidade mais baixa ela imprime melhor. Essa mquina fez certo servio em 7 horas e meia, na velocidade mais alta. Em quanto tempo ela faria o mesmo servio, trabalhando na velocidade mais baixa? 
<154>
 70. Viajando um certo tempo a 80 km/h, percorri 500 km. Se, durante esse mesmo tempo, eu tivesse viajado a 100 km/h, que distncia eu teria percorrido?
 71. Com 100 kg de trigo, fabricam-se 65 kg de farinha. Com quantos quilogramas de trigo so fabricados 260 kg de farinha?
 72. Cinco torneiras idnticas enchem um tanque em 6 horas. 
<P>
  Em quanto tempo trs dessas torneiras encheriam o mesmo tanque? 
 
Pensando em casa 

73. Leia a reportagem e responda s questes. 

  Indicadores do mercado

  Quanto movimenta o comrcio mundial de carne bovina? 20 bilhes de reais;
  Qual  a participao do 
  Brasil neste mercado? 1,6 bilho de reais, o equivalente 
  a ...%;
  Qual  a produo brasileira anual de carne bovina? 6 milhes de toneladas, o equivalente a 12% da produo mundial;
  Qual  o tamanho do rebanho bovino brasileiro? 165 milhes 
<P>
  de cabeas, o equivalente a 16% do rebanho mundial.

*Veja*, So Paulo: Abril, 9 mai. 2001. p. 121.

a) Se 165 milhes de cabeas correspondem a 16% do rebanho mundial, qual  o tamanho do rebanho mundial? 
  Sugesto: 165 est para o total do rebanho assim como 16% est para 100%. 
 b) Complete a informao em seu caderno: a participao do 
  Brasil no comrcio mundial de carne bovina (20 bilhes de reais)  de 1,6 bilho de reais, o que equivale a ...% do mercado mundial. 
 c) Se 6 milhes de toneladas de carne bovina equivalem a 12% da produo mundial, qual  a produo mundial, em toneladas? 
 d) Quantos quilogramas equivalem a uma tonelada? 
<P>
 e) O Brasil firmou-se no mercado mundial de carne bovina a partir do momento em que importou da ndia as primeiras espcies de gado zebu, no sculo XIX. Em que ano comeou e terminou esse sculo? 

<155>
74. Numa destilaria, de cada tonelada `(1.000 kg`) de cana-de-
  -acar so obtidos 70 litros de lcool, sobrando, nesse processo, 910 litros de vinhoto. (Existem muitos rios poludos por causa do vinhoto jogado em suas guas.) Numa destilaria que produz 20.000 litros de lcool por dia, quantos litros de vinhoto sobram diariamente? 
 75. Jos caminha de sua casa at a escola a uma velocidade constante de 4,5 km/h. Ele leva 4 minutos para fazer esse percurso. Qual a distncia da casa de Jos at a escola?
<P>
_`[{para as atividades 76 a 78, pea orientao ao professor_`]

 76. Pretendo fazer a ampliao desta foto sem cortes.

_`[{foto, de uma borboleta, com 4 cm de altura e 6 cm de base_`]

  A altura da foto ser de 5 cm. Quanto medir a base da foto-
  grafia? 
  Sugesto: utilize tambm a sua rgua para resolver este problema.
 77. Mea as dimenses destas fotografias. Quais delas podem ser ampliaes, sem cortes, de uma foto 3 {" 4 `(3 cm por 
  4 cm`)?

_`[{trs fotos. A seguir, suas descries e dimenses_`]

1. Foto de dimenses 3,5 cm de base e 4,5 cm de altura de dois meninos;
 2. Foto de dimenses 3,0 cm de base e 5,5 cm de altura de uma menina;
 3. Foto de dimenses 4,5 cm de base e 6,0 cm de altura de um menino.

78. H um livro que publica os recordes mais curiosos. Uma de suas edies trazia a informao de que o recorde mundial de salto em distncia era de 12,80 m para... cangurus! O recorde dos homens era 8,90 m; o das mulheres, 7,43 m; o das rs, 6,17 m; o das pulgas, 0,33 m. 
 a) Desenhe um segmento ^c?{o{c*, com 8 cm, para representar o salto recorde do canguru. Depois, mantendo as propores, marque nesse segmento, a partir da extremidade da esquerda (O), os pontos correspondentes aos outros recordes. 
<P>
 b) No segmento que voc desenhou, qual  o comprimento correspondente ao recorde das mulheres? 
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<156>
6- Regra de trs composta 

  Existem problemas que devem ser resolvidos com mais de uma regra de trs. So os problemas de re-
 gra de trs composta. 

Exemplos 

<R+>
1. Quarenta operrios, em 6 dias, trabalhando 4 horas por dia, conseguem terminar um servio. Quantos operrios faro o mesmo servio em 12 dias, se eles trabalharem 8 horas por dia? 
  Colocamos os dados numa tabela: 
<P>
_`[{tabela adaptada, formada por trs colunas:
  1) Operrios;
  2) Dias;
  3) Horas por dia_`]

<F->
  !:::::::::::::::
  l 1 _ 2 _ 3 _
  r:::::w:::::w:::::w
  l 40 _ 6  _ 4  _
  r:::::w:::::w:::::w
  l ''' _ 12 _ 8  _
  h:::::j:::::j:::::j
<F+>

  Precisamos encontrar o nmero de operrios para essa nova situao, com outro nmero de dias e outro nmero de horas de trabalho por dia. 
  Vamos resolver por partes. 
  Inicialmente, suponhamos que mudem apenas as horas de trabalho. 
  Ento, por ora, a pergunta  esta: quantos operrios fazem o servio em 6 dias, trabalhando, porm, 8 horas por dia? 

_`[{tabela adaptada, formada por trs colunas: 
  1) Operrios; 
  2) Dias; 
  3) Horas por dia_`]

<F->
  !:::::::::::::::
  l 1 _ 2 _ 3 _
  r:::::w:::::w:::::w
  l 40 _     _ 4  _
  r:::::w 6  _:::::w
  l x   _     _ 8  _
  h:::::j:::::j:::::j
<F+>

<157> 
  Aqui, o nmero de dias no muda. Ento, duplicando-se as horas por dia de trabalho, o nmero de operrios cair para a metade. 
  O nmero de operrios necessrios  inversamente proporcional s horas por dia de trabalho. 
  Por isso, para escrever a proporo, precisamos inverter os nmeros da ltima coluna: 40x=84, portanto x=20. 
  O que significa esse valor que acabamos de encontrar? 
  Volte  linha da tabela em que aparece x. Como x=20, sabemos agora que 20 operrios fazem o servio em 6 dias, trabalhando 8 horas por dia. 
  Lembre-se, porm, de que o problema pede o nmero de operrios necessrios para fazer o servio em 12 dias. 
  Efetuamos a parte final do problema encontrando o novo nmero de operrios, que indicaremos por y: 

_`[{tabela adaptada, formada por trs colunas: 
  1) Operrios; 
  2) Dias; 
  3) Horas por dia_`]

<F->
  !:::::::::::::::::::::
  l 1   _ 2   _ 3   _
  r:::::::w:::::::w:::::::w
  l 20   _ 6    _       _
  r:::::::w:::::::w  8   _
  l y     _ 12   _       _
  h:::::::j:::::::j:::::::j
<F+>
<P>
  Agora, o nmero de horas dirias de trabalho no muda. Ento, a quantidade de operrios necessrios  inversamente proporcional ao nmero de dias de trabalho. Por isso, para escrever a proporo, precisamos inverter os nmeros da coluna dos dias: 20y=126, portanto y=10. 
  Esta  a resposta do problema: so necessrios 10 operrios para fazer o servio em 12 dias, trabalhando 8 horas por dia. 
<R->

Recapitulando 

  Veja o que fizemos nesse exemplo. Duas mudanas eram conhecidas: a do nmero de dias, que passou de 6 para 12, e a do nmero de horas por dia de trabalho, que passou de 4 para 8. 
  Elas provocam uma alterao no nmero de operrios necessrios 
<P>
para fazer o servio, que passa de 40 para y. 
  Na primeira parte, no levamos em conta a mudana do nmero de dias. Assim, camos numa regra de trs simples, montamos a proporo e calculamos o novo nmero x de operrios. 
  Ento, chegamos a uma situao intermediria. 
<158>
  Na segunda parte, bastou considerar a mudana que faltava. Assim, camos novamente numa regra de trs simples, montamos a proporo e calculamos y, obtendo a resposta do problema. 

<R+>
2. Em 3 horas, 2 torneiras despejam 2.100 litros de gua. Ento, em quantas horas 5 dessas torneiras despejam 7.000 litros de gua? 

_`[{tabela adaptada, formada por trs colunas:
  1) Tempo: horas;
  2) Torneiras;
  3) Volume: litros_`]

<F->
  !::::::::::::::::::::::
  l 1   _ 2   _ 3    _
  r:::::::w:::::::w::::::::w
  l 3    _ 2    _ 2.100 _
  r:::::::w:::::::w::::::::w
  l '''   _ 5    _ 7.000 _
  h:::::::j:::::::j::::::::j
<F+>

  Vamos resolver por partes. 
  Inicialmente, suponhamos que mude apenas o volume de gua despejado: 

_`[{tabela adaptada, formada por trs colunas:
  1) Tempo: horas;
  2) Torneiras;
  3) Volume: litros_`]

<F->
  !::::::::::::::::::::::
  l 1   _ 2   _ 3    _
  r:::::::w:::::::w::::::::w
  l 3    _       _ 2.100 _
  r:::::::w  2   _::::::::w
  l x     _       _ 7.000 _
  h:::::::j:::::::j::::::::j 
<F+>

  Como o nmero de torneiras no muda, o volume de gua despejado  diretamente proporcional ao tempo. Ento: 3x=2.1007.000, portanto x=10. 
  Isso significa que 2 torneiras despejam 7.000 litros de gua em 10 horas. Mas lembre-se de que o problema pede o tempo em que esse volume  despejado por 5 torneiras. 
  A parte final do problema  encontrar o novo nmero de horas, que indicaremos por y: 

_`[{tabela adaptada, formada por trs colunas:
  1) Tempo: horas;
  2) Torneiras;
  3) Volume: litros_`]
<P>

<F->
  !::::::::::::::::::::::
  l 1   _ 2   _ 3    _
  r:::::::w:::::::w::::::::w
  l 10   _ 2    _        _
  r:::::::w:::::::w 7.000 _
  l y     _ 5    _        _
  h:::::::j:::::::j::::::::j 
<F+>

  Fixando agora o volume de gua despejado, veja que o tempo  inversamente proporcional ao nmero de torneiras. Por isso, a proporo : 10y=52, portanto y=4. 
  Concluindo, 5 torneiras despejam 7.000 litros de gua em 4 horas. 

<159>
Atividades 

79. Considere a seguinte situao inicial: certo nmero de robs, trabalhando determinado nmero de horas por dia, faz um servio em 60 dias. 
<P>
  Responda calculando mental-
  mente: 
 a) O dobro do nmero de robs (da situao inicial), trabalhando o mesmo nmero de horas por dia (da situao inicial), faria o servio em quantos dias? 
 b) O mesmo nmero de robs (da situao inicial), trabalhando o triplo do nmero de horas por dia (da situao inicial), faria o servio em quantos dias?
 c) O dobro do nmero de robs (da situao inicial), trabalhando o triplo do nmero de horas por dia (da situao inicial), faria o servio em quanto tempo?

80. Considere a seguinte situao inicial: viajando de carro em certa velocidade, uma pessoa percorreu determinada distncia em 12 horas. 
  Responda, fazendo os clculos mentalmente:   
 a) Viajando com o dobro da velocidade (da situao inicial), a pessoa percorreria a mesma distncia (da situao inicial) em quantas horas? 
 b) Viajando com o dobro da velocidade (da situao inicial), a pessoa percorreria o dobro da distncia (da situao inicial) em quantas horas? 
 c) Viajando com o triplo da velocidade (da situao inicial), a pessoa percorreria o dobro da distncia (da situao inicial) em quantas horas?

81. Em 5 dias, funcionando 15 horas por dia, uma mquina produz 2.000 peas. Quantas peas ela produz em 8 dias, funcionando 12 horas por dia?
 82. No ms passado, Sabo Neto tomou 6 banhos de chuveiro por dia, de 20 minutos cada, usando 20.000 litros de gua. Seu irmo, apelidado de Casco, por exigncia da me, tomou um banho por dia, de 1,5 minuto. Quan-
<P>
  tos litros de gua Casco gastou no ms passado?
 83. Dois carregadores levam caixas de um armazm para outro. Um deles leva 3 caixas por vez e demora 2 minutos em cada viagem. O outro, mais forte e mais vagaroso, leva 7 caixas por vez e demora 5 minutos por viagem. Enquanto o mais fraco leva 180 caixas, quantas leva o outro?
 84. No parque de diverses, os alunos de minha escola formaram fila para subir a montanha-russa. Em cada carrinho iam 5 alunos e as partidas ocorriam de 40 em 40 segundos. A fila acabou em 12 minutos. Calcule em quanto tempo a fila acabaria se em cada carrinho fossem 6 alunos e as partidas ocorressem de 28 em 28 segundos. 

<160>
Pensando em casa 

85. Uma pilha com 20 jornais iguais, de 60 pginas cada um, tem 7,4 kg. Quantos quilogramas tem uma outra pilha com 50 jornais de 96 pginas cada um?
 86. O papagaio do Joozinho  um terror! Em 5 dias, sendo observado 4 horas por dia, o louro vocalizou 500 palavres. Sabendo que esse papagaio fica acordado 17 horas por dia e supondo que ele distribua igualmente os palavres durante esse tempo, calcule quantos palavres ele vocalizou em 30 dias. 
 87. Um automvel viajou 6 dias, rodando 6 horas por dia, com uma velocidade mdia de 80 km/h. Calcule em quantos dias ele faria a mesma viagem, rodando 8 horas por dia, a uma velocidade mdia de 90 km/h.
 88. Em 30 dias, uma frota de 34 txis consome 85.000 litros de combustvel. Um pequeno incndio no estacionamento da frota destruiu 4 dos txis. Calcule agora para quantos dias sero suficientes os 100.000 litros de combustvel que a frota tem em estoque, supondo que os txis restantes continuem rodando normalmente.
 89. Li em um folheto: um vazamento pequeno de uma torneira, de 20 gotas por minuto, desperdia, em 30 dias, 100 litros de gua! Fiquei preocupado: na torneira de minha casa, o vazamento era de 45 gotas por minuto, e isso vem acontecendo h 40 dias! Calcule quantos litros de gua j desperdicei. 

Desafios e surpresas
 
3. Nessa figura, _`[no adaptada_`] uma engrenagem tem 28 dentes e a outra, 12. 
  Quando a engrenagem maior d x voltas, ela faz a menor girar y voltas, no sentido contrrio. 
 a) Calcule x, quando y=7. 
 b) Os nmeros de voltas x e y das engrenagens maior e menor so diretamente proporcionais a 28 e 12? So inversamente 
<P>
  proporcionais a 28 e 12? Justifique a sua resposta. 

<161>
4. (Enem) As bicicletas possuem uma corrente que liga uma coroa dentada dianteira, movimentada pelos pedais, a uma coroa localizada no eixo da roda traseira, como mostra a figura _`[no adaptada_`].
  O nmero de voltas dadas pela roda traseira a cada pedalada depende do tamanho relativo dessas coroas. 
  Em que opo a seguir a roda traseira d o maior nmero de voltas por pedalada? 

_`[{figuras: cinco bicicletas_`]
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
 
<162>
<P>
Ao sobre regra de trs

Experincias com a bicicleta 

1 parte 

  Inicialmente, formam-se grupos de 3 alunos. 
  Cada grupo faz um canudo de papel e, nele, prende um pedao de linha de 50 cm. A linha  totalmente enrolada no canudo e, em seguida,  puxada da forma que voc v na figura. 

<R+>
_`[{figura: uma menina e dois meninos. A garota puxa a linha que est enrolada em um canudo que est nas mos de um dos meninos_`]
<R->

  O grupo anota a medida do dimetro do canudo e o nmero de voltas que ele d enquanto a linha se desenrola.
  Repete-se a operao com canudos de outros dimetros. Por exemplo, com o dobro da medida inicial, um tero dela etc. 
  Que relao existe entre o dimetro e o nmero de voltas que o canudo d? 
  O dimetro e o nmero de voltas so diretamente proporcionais? Inversamente? Nada disso? Cada grupo deve se pronunciar sobre a questo... 

<163> 
2 parte 

  Os grupos desfazem-se e a ao passa a ser feita pela classe, com orientao do professor. Ser necessria uma bicicleta de 10 mar-
 chas ou mais. 
  Com a corrente assentada no maior dos pinhes da roda traseira, os alunos devem medir (e anotar) a distncia que a bicicleta percorre durante uma volta completa do pedal. 
  A seguir, mexendo apenas no comando de ajuste dos pinhes traseiros, assenta-se a corrente no segundo maior pinho. Novamente, os alunos medem quanto a bicicleta anda com uma pedalada completa. 
  Repetem-se as experincias com os outros pinhes traseiros, exceto o menor. 
  Ser que a classe descobre uma relao entre as distncias percorridas e os nmeros de dentes dos pinhes traseiros? Calcule que distncia a bicicleta percorrer quando a corrente estiver assentada no menor pinho traseiro. 
  Depois, faa a experincia para confirmar a distncia encontrada. 
  E agora, mudando o ajuste dianteiro da corrente, que distncia a bicicleta percorrer? 
  A classe deve tentar responder a todas essas perguntas. 

               ::::::::::::::::::::::::

<164>
7- Porcentagem 

  Vou contar como comecei a gostar de Matemtica. Foi quando os sorvetes aumentaram de R$2,00 para R$2,70 e meu pai aumentou minha mesada de R$25,00 para R$32,00. 
  Eu no fiquei satisfeito com o aumento da mesada. Achei que, relativamente  minha mesada, o sorvete tinha aumentado mais! Mas no tinha muita certeza disso. 
  Foi a que minha irm me ajudou. Ela me explicou que para comparar aumentos em preos diferentes as pessoas costumam transformar todos os preos em 100, usando as propores. 
  Se o preo de um sorvete passou de 2 para 2,70, o preo de cinquenta sorvetes passou de 100 para 50'2,70=135. No preo do sorvete houve um aumento de 35 em cada 100. 
  Minha irm explicou que esse aumento de 35 em 100  chamado de trinta e cinco por cento `(35%`), e que isso era uma porcentagem. 
  A eu fui pensar no aumento da mesada. Se ela passou de 25 para 32, quatro mesadas passaram de 100 para 4'32=128. Na mesada, houve aumento de 28 em 100, isto , um aumento de vinte e oito por cento `(28%`). 
  Ento, eu tinha razo. O sorvete tinha aumentado 0,70 em 2, o que corresponde a 35 em 100, ou seja, 35%. 
  A mesada tinha aumentado 7 em 25, o que corresponde a 28 em 100, ou seja, 28%. O sorvete tinha aumentado mais que a mesada. 
  Quando entendi isso, expliquei a meu pai. Acho que ele gostou da explicao, porque aumentou minha mesada na hora para R$37,50! (E isso representa 50% de aumento.) 
  Eu passei a gostar de Matemtica porque ela me foi til e tambm porque percebi que ela ex-
 plica muitas coisas. 
<165> 
  Essa histria mostra que as porcentagens servem para fazer comparaes, tomando-se como base o nmero 100. 
<P>
  Porcentagem (ou percentagem)  qualquer razo ab, na qual o nmero *b*  igual a 100. 

  A porcentagem a100  indicada assim: a%. 
  O smbolo % indica uma diviso por 100. 
  Por exemplo: 27%=27100. 

Primeiros clculos com 
  porcentagem 

  As porcentagens costumam ser representadas de trs maneiras. Por exemplo: 
<R+>
  sessenta e um por cento: 61% ou 61100 ou 0,61. 
  nove por cento: 9% ou 9100 ou 0,09. 
  Vamos agora ver um exemplo de como calcular porcentagem: 
  Quanto valem 17% de R$420,00? 
  Esse clculo pode ser feito de vrias maneiras: 
<P>
  Sabendo-se que 100% de R$420,00 so os prprios R$420,00, podemos encontrar 17% de R$420,00 com uma re-
  gra de trs: 
<R->

<F->
  !::::::::::::::::::::
  l porcentagem _ valor _
  r:::::::::::::w:::::::w 
  l 17         _ x     _
  r:::::::::::::w:::::::w
  l 100        _ 420  _
  h:::::::::::::j:::::::j
<F+>

  17100=x420. Portanto: 
  x=71,4. 
<166>
<R+>
  Sabendo-se que 17% representam o mesmo que 17100, temos: 17% de 420=17100 de 420=17100'420=71,4. 
  Sabendo-se que 17% representam o mesmo que 0,17, temos: 
  17% de 420=0,17'420=71,4. 
  Enfim, 17% de R$420,00 so R$71,40. 
<R->
<P>
Ateno

<R+>
 Veja esta porcentagem, em que *a* no  um nmero inteiro: 
  8,5%=8,5100=0,085
  8,5% de 1.600=0,085'1.600=
  =136. 
  Veja esta porcentagem, em que *a*  maior que 100: 
  150%=150100=1,5
  150% de 1.600=1,5'1.600=
  =2.400. 

Atividades 

90. Quanto vale ...? 
 a) Um aumento de 5 sobre o preo de 50  proporcional a um aumento de ... sobre o preo de 100. 
 b) Um aumento de 10 sobre o preo de 50  proporcional a um aumento de ... sobre o preo de 100. 
<P>
 c) Um aumento de 20 sobre o preo de 200  proporcional a um aumento de ... sobre o preo de 100. 
 d) Um aumento de 60 sobre o preo de 200  proporcional a um aumento de ... sobre o preo de 100. 

91. Eis algumas porcentagens escritas com nmeros decimais:
  2%=0,02; 20%=0,20=0,2.
  Escreva com nmeros decimais: 
 a) 3% 
 b) 30%
 c) 99% 
 d) 100%

92. Um amigo est me devendo R$90,00. Quanto receberei se, dessa dvida, ele me pagar: 
 a) 10%?  
 b) 20%?  
 c) 30%? 
 d) 50%? 
 e) 60%?
 f) 90%?

<167>
93. Vamos pensar o seguinte: um aumento de 100% no preo de um produto significa multiplicar esse preo por 2. Um aumento de 200% corresponde a multi-
  plicar o preo por 3, e assim por diante. Utilizando o pa-
  dro, descubra qual o preo mximo do apontador referido na manchete. 

  Volta s aulas: pesquisa  indispensvel para comprar material escolar. 
  Procon: a diferena de preos de um mesmo produto chega a 500%. 
  Papelarias cariocas vendem apontador simples de R$0,10 
  a at ...

*O Globo*, So Paulo, 20 jan. 2002. Caderno Economia, 
  p. 32. 

94. O bar No Existe deu um lucro de R$8.400,00. Eu sou um dos donos do bar e recebo 35% dos lucros. Quanto vou receber? 

95. Para transformar uma frao em nmero decimal, basta dividir o numerador pelo denominador. Lembrando-se disso, escreva com nmeros decimais: 
 a) #,b 
 b) #,d
 c) #:d
 d) #,e
 e) #;e 
 f) #,ajj
 g) #=bj
 h) #"be 
 
96. Escreva a porcentagem correspondente a cada frao do exerccio anterior.
  
Pensando em casa 

97. Escreva as porcentagens seguintes, primeiro com fraes, depois com decimais: 
<P>
 a) 12%  
 b) 60% 
 c) 1%
 d) 8%

98. Escreva os nmeros decimais seguintes com fraes de denominador 100 e, depois, com porcentagens: 
 a) 0,04 
 b) 0,5 
 c) 0,50 
 d) 0,01

99. Calcule: 
 a) 3% de 2.100; 
 b) 94% de 15.000; 
 c) 50% de 7.922; 
 d) 1% de 75; 
 e) 75% de 12; 
 f) 32% de 2.700.

100. Nos restaurantes, alm do que se consome, paga-se tambm o servio do garom. Em geral, esse pagamento  calculado dividindo-se o valor da conta por 10. O valor desse servio corresponde a que porcentagem? Explique.
 101. Quando Vnia vai abastecer o carro, sempre deixa uma gorjeta ao rapaz do posto. Essa gorjeta corresponde ao valor marcado na bomba de combustvel dividido por 100. A que porcentagem do valor marcado na bomba corresponde essa gorjeta?

102. Na minha lanchonete preferida h um sanduche que custa R$2,40. J me disseram que esse preo vai aumentar. D o novo preo se o aumento for de: 
 a) 10%  
 b) 25% 
 c) 5%
 d) 75%

103. Usando a calculadora, observe que um aumento de 11 num preo de 50  um aumento de 22%. Agora, use a calculadora e descubra a quanto por cento corresponde: 
 a) um aumento de 8 sobre o preo de 50; 
 b) um aumento de 6 sobre o preo de 25; 
 c) um aumento de 16 sobre o preo de 20.

104. _`[{use a calculadora_`] 
  A papelaria Bom e Barato est fazendo uma promoo. O apontador, que antes custava R$0,15, passou a custar R$0,12. De quanto por cento foi o desconto?

105. Responda no caderno: 
 a) 50% de uma quantia correspondem a que parte dessa quantia? 
 b) A quarta parte de um valor corresponde a que porcentagem desse valor? 
 c) A dcima parte de um valor corresponde a que porcentagem desse valor? 
<R->

               ::::::::::::::::::::::::
 
<168>
<P>
8- Clculos com porcentagem 

  Voc j sabe fazer clculos envolvendo porcentagens. Vamos analisar agora outras situaes: 

Exemplos 

<R+>
1. 42% de um valor  3.045. Qual  o valor? 
  Esse valor pode ser obtido de vrias maneiras. 
  Podemos usar uma regra de trs. Nesse caso, o que se procura  100% do valor. 

<F->
  !:::::::::::::::::::::
  l porcentagem _ valor  _
  r:::::::::::::w::::::::w 
  l 42         _ 3.045 _
  r:::::::::::::w::::::::w
  l 100        _ x      _
  h:::::::::::::j::::::::j
<F+>

  Assim: 42100=3.045x. 42x=100'3.045. Assim, 
<P>
  x=?100'3.045*42=
  =?100'145*2, portanto, x=7.250.
  Sendo x o valor procurado, 
  temos: 42% de x=3.045. 
  Assim, 42100'x=3.045. 42x=100'3.045 ou, ainda, x=?100'3.045*42, portanto x=7.250.
  Sendo x o valor procurado, 
  temos: x'0,42=3.045, portanto x=3.0450,42. 3.045 :o 42% de x. 304.5000,42=7.250 
  resto 0. Enfim, o valor  7.250.
<169>
 2. 2.125  quanto por cento de 2.500?
  Essa porcentagem pode ser calculada de vrias maneiras. 
  Na regra de trs, precisamos observar que 100% de 2.500 so os prprios 2.500. 
<P>
<F->
  !:::::::::::::::::::::
  l porcentagem _ valor  _
  r:::::::::::::w::::::::w 
  l x           _ 2.125 _
  r:::::::::::::w::::::::w
  l 100        _ 2.500 _
  h:::::::::::::j::::::::j
<F+>

  Temos: x100=2.1252.500. x=?100'2.125*2.500. Portanto: x=85.
  A porcentagem procurada  85%. 
  Indicando a porcentagem procurada por x%, temos: 2.125=x% de 2.500 ou, ainda, 2.125=x100'2.500. 2.125=25x. Assim, x=2.12525, portanto x=85. Logo, 2.125  85% de 2.500. 
  Sabemos que: 2.500'x=2.125. Assim, x=2.1252.500, portanto x=0,85. Logo, 2.125  85% de 2.500.
<P>
Atividades 

<R+>
106. Responda no caderno: 
 a) 31% de um certo nmero  2.015. Qual  o nmero? 
 b) Calculei 1% de um nmero e obtive 99. Qual  o nmero? 
 c) 18% de que nmero vai resultar em 270?

107. Em cada caso, so dados dois nmeros. O primeiro  uma certa porcentagem do segundo. Calcule essa porcentagem. 
 a) 4.200 e 7.000  
 b) 340 e 1.000 
 c) 78 e 2.600
 d) 3.240 e 4.500

108. O preo de uma chapa de madeira vai aumentar 29%. Calcule de quanto ser esse aumento, sabendo-se que atualmente a chapa custa R$14,00. 
<170>
 109. Descubra o preo de uma chapa de madeira, sabendo que um 
<P>
  aumento de R$3,60 representa 18% do seu preo.
 110. O preo de uma chapa de madeira teve um aumento de R$6,30. Calcule de quanto por cento foi esse aumento se o preo antigo da chapa era R$14,00.

111. Escreva na forma de nmero decimal: 
 a) 8,6%  
 b) 49,3%  
 c) 46,72% 
 d) 121%
 e) 450%
 f) 312,5%

112. Escreva como porcentagem: 
 a) 0,085  
 b) 0,286  
 c) 0,335 
 d) 0,900
 e) 1,15
 f) 3,20
<P>
113. Calcule: 
 a) 9,4% de 15.000; 
 b) 75,8% de 15.000; 
 c) 312% de 15.000.

114. Tragdia! Comprei 80 figurinhas e 76 eram repetidas! Nessa compra, qual foi a porcentagem de figurinhas repetidas?
 115. Pelo regulamento da escola, eu serei reprovado se faltar em mais de 25% das aulas de Educao Fsica. Haver 96 aulas de Educao Fsica durante o ano. Qual  o nmero mximo de faltas que posso ter?
 116. Dezoito alunos de minha classe torcem para um time bem fraco. Como esses alunos representam 60% da classe (so a maioria), ns somos obrigados a no falar mal do time deles. Quantos alunos tem a classe?
<P>
Pensando em casa 

117. Num treino de basquete, Paula fez 400 arremessos e acertou 268. Hortnsia fez 360 arremessos e errou 200. 
 a) Calcule a porcentagem de acertos de cada uma. 
 b) Quem teve a maior porcentagem de acertos? 

118. Observe o anncio de assinatura de uma revista semanal, no qual alguns dados foram apagados. Faa os clculos e complete os dados em seu caderno. 

  At na hora de assinar a gente faz o seu dinheiro render.
  Preo de capa: R$5,90
  Por 12 edies: '''
  Voc ganha um desconto 
  de: 18%
  Uma parcela de: '''
  Ou por carto de crdito/d-
  bito em conta em 5"sem juros 
  de: '''

 119. Numa sala em que 75% dos alunos so meninos, estudam apenas 7 meninas. Quantos alunos tem a classe?
 120. Recebi R$36,00 de comisso, porque achei um comprador para a bicicleta de meu amigo. Essa comisso foi de 15% do preo de venda da bicicleta. Calcule por quanto ele vendeu a bicicleta.
 121. Apenas para decolar e pousar, um avio Boeing 737 consome, em mdia, 1.980 litros de combustvel! Para voc ter uma ideia, isso representa 90% de todo o combustvel que ele gasta em uma viagem Rio-So Paulo. Quantos litros de combustvel ele gasta em uma viagem dessas? 
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 122. Em razo do excesso de trfego e da poluio do ar, causada por automveis, a prefeitura de So Paulo tem promovido um rodzio das 7 s 10 horas e das 17 s 20 horas. Nas segundas-feiras no circulam carros com placas de final 1 e 2; nas teras-feiras, no circulam carros com placas de final 3 e 4 e assim por diante, at sexta-feira. Supondo que a cidade tenha 5 milhes de automveis e que 90% dos proprietrios respeitem o rodzio, quantos veculos, no mximo, circularo no horrio do rodzio?
  Ateno:  preciso ler com cuidado e decidir sobre alguns fatos que o enunciado no explica.
 123. _`[{use a calculadora_`] Os preos de produtos alimentcios variam muito. Quando so raros, ficam mais caros. Por exemplo, um p de alface pode custar R$1,50 normalmente, mas, depois de uma chuva que destruiu as plantaes, passa a custar R$2,50. Nesse caso, qual o percentual de aumento? 
  Para responder, voc pode dividir o preo com aumento pelo preo anterior: 2,50 dividido por 1,50. Voc obter 1,66... Isto , o preo com aumento  cerca de 1,66 vezes o preo anterior, o que indica que o preo anterior foi aumentado em 66%. 
  Sabendo disso, pegue uma calculadora e obtenha os percentuais aproximados de aumentos: 

_`[{tabela adaptada, formada por trs colunas:
  1) Produto;
  2) Preo atual;
  3) Preo antigo_`]

  laranja -- R$3,50 -- R$3,00
  morango (caixa) -- R$4,00 -- R$2,00
  uva (quilo) -- R$5,00 -- R$4,00
  manga (quilo) -- R$4,00 -- R$3,00

124. As armadilhas dos percentuais de aumento e de diminuio. 
  Vamos pensar no seguinte: se o preo de um objeto teve um aumento de 100%, para voltar ao valor inicial o desconto no poder ser de 100% (seno o produto sairia de graa), mas sim de 50%. Veja o esquema representando o que acontece com o preo de um objeto que custava 100 reais. 

_`[{esquema adaptado_`]

  100 -- 200
  100+25%=200
  200-50%=100

  Agora responda: se o preo de um objeto teve um aumento de 25%, de quanto deve ser o desconto sobre o preo final para que se obtenha o preo inicial? 

_`[{esquema adaptado_`]

  100 -- 125
  100+25%=125
  125-'''=100

125. Em 2001, o governo brasileiro informou  Organizao das Naes Unidas (ONU) que havia conseguido fornecer gua potvel para 79,8% da populao e que 64% da populao tinha esgoto sanitrio. 
  Em 2007, as pesquisas do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatstica (IBGE), mostraram que 91,3% da populao j dispunha de gua potvel e que 74,3% da populao dispunha de esgoto sanitrio. 
 a) Supondo que a populao seja cerca de 190 milhes de habitantes, os que tm gua potvel so aproximadamente 90 milhes, 170 milhes ou 190 milhes? 
 b) Os percentuais que foram informados indicam melhora ou piora nas condies de vida da populao? 
 c) Qual o percentual da populao que deve ter esgoto sanitrio? Por que  importante ter esse esgoto? 
 d) O governo tem um rgo para fazer estatsticas. Como se chama esse rgo e para que servem pesquisas como a que citamos? 

<172>
126. Cerca de 150.000.000 km2 da superfcie de nosso planeta so cobertos por continentes, e 362.000.000 km2, por oceanos (por isso nosso planeta  chamado planeta azul ou planeta gua). 
  Que porcentagem da superfcie do globo representam os oceanos? 

Desafios e surpresas

5. Tenho R$40,00 e 35% do que tenho correspondem a 20% do que tem o meu irmo. Quanto ele tem? 

6. Voc tem 12 anos e eu tenho 16. 
 a) A sua idade  quanto por cento da minha? 
 b) Daqui a 4 anos, qual ser a resposta da pergunta anterior? 
<P>
 c) H 11 anos, qual era a resposta? 
 d) Daqui a quantos anos a resposta ser 90%? 
<R-> 

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

Fim da Quarta Parte